オイラー角と回転行列 - 株式会社CFlatの明後日スタイルのブログ

こんにちは、株式会社CFlatです。

とあるお客さんからオイラー角の質問を受けたので少し調べてみました。
その際に計算結果は色んなサイトに載っていましたが、計算過程が見つからなかったのでメモしておきます。

オイラー角とは

オイラー角とは３次元空間にあるオブジェクトの姿勢を表現する手法で、回転軸も回転毎に変化します。

具体的にx-y-z系のオイラー角の回転方法を説明します。
以下、絶対座標系を大文字のXYZ、オブジェクトの座標系を小文字のxyzで表現します。

( x, y, z )をx軸周りに角度αだけ回転して( x', y', z' )とする。
( x', y', z' )をy'軸周りに角度βだけ回転して( x'', y'', z'' )とする。
( x'', y'', z'' )をz''軸周りに角度γだけ回転して( x''', y''', z''' )とする。
このように( x, y, z )を( x''', y''', z''' )に回転させたとき、α、β、γをx-y-z系のオイラー角と言います。

オイラー角と回転行列の関係

次にオイラー角と回転行列の関係を計算します。
P軸周りに角度θだけ回転させる行列を $R_P(\theta)$ とし
初期状態でXYZとxyzが一致しているとすると
x-y-z系のオイラー角を表す回転行列Rは

$R = R_X(\alpha)R_Y(\beta)R_Z(\gamma)$

であると色んなサイトに書かれています。つまり次の式が成り立っています。

$R = R_{z''}(\gamma)R_{y'}(\beta)R_x(\alpha) = R_X(\alpha)R_Y(\beta)R_Z(\gamma)$

オブジェクト座標系でx, y', z''の順番に回転していたはずが、
絶対座標系でZ, Y, Xの順番での回転に一致するという一見不思議な状態になります。

ここから不思議な状態の解説をしていきますが、
その前に基本をおさらいしておきます。

絶対座標X, Y, Z軸周りの回転はそれぞれ下記のように書けます。

$R_X = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\theta & -sin\theta \\ 0 & sin\theta & cos\theta \\ \end{array} \right)$ , $R_Y = \left(\begin{array}{ccc} cos\theta & 0 & sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin\theta & 0 & cos\theta \\ \end{array} \right)$ , $R_Z = \left(\begin{array}{ccc} cos\theta & -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$

では任意のP軸周りの回転の場合はというと、絶対座標軸よりもちょっと面倒な作業をしなければなりません。
1つの手法として、まずP軸をX軸に合わせるような回転行列 $R'$ を掛けて、P軸とX軸を一致させます。
次に絶対座標X軸周りの回転 $R_X$ を行い、最後に逆行列 $R'^{-1}$ を掛けてPを元の位置に戻します。

式で書くと次のようになります。

$R_P(\theta) = R'^{-1}R_X(\theta)R'$

任意軸周りの回転が表現できたところで最初のx-y-z系のオイラー角を表す回転行列Rを変形していきます。初期状態は

$R = R_{z''}(\gamma)R_{y'}(\beta)R_x(\alpha)$

初期状態で絶対座標のXとオブジェクト座標のxは一致しているので、

$R = R_{z''}(\gamma)R_{y'}(\beta)R_X(\alpha)$

y'軸周りの回転をするためにy'をYに合わせてから元に戻します。

$\begin{eqnarray}R & = & R_{z''}(\gamma)R_X(\alpha)R_Y(\beta){R_X(\alpha)}^{-1}R_X(\alpha) \\ & = & R_{z''}(\gamma)R_X(\alpha)R_Y(\beta) \end{eqnarray}$

Z''軸周りの回転をするためにz''をZに合わせてから元に戻します。

$\begin{eqnarray}R & = & R_X(\alpha)R_Y(\beta)R_Z(\gamma){R_Y(\beta)}^{-1}{R_X(\alpha)}^{-1}R_X(\alpha)R_Y(\beta) \\ & = & R_X(\alpha)R_Y(\beta)R_Z(\gamma) \end{eqnarray}$